Yann | Tardis

Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid 哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成 Douglas Hofstadter 侯世达 9787100013239 GEB我们继续读第七章《命题演算》，在这一章里作者试图向大家介绍一种用字母和符号表示的逻辑演算形式系统。 首先，给出了四条递归的原则，即形成规则：如果x和y都是良构的，那么以下的四种串也可以都是良构的： （1）~x        非 （2）<x∩y>    并 （3）<x∪y>    或 （4）<x→y>    若…则… 然后可以利用各种规则来进行幻想规则，在这个幻想规则中还可以进行“推入”和“弹出”的递归使用。命题演算的所有规则清单如下： （1）联结规则：如果x和y是定理，那么<x∩y>是个定理。 （2）分隔规则：如果<x∩y>是个定理，那么x和y两者都是定理。 （3）双弯号规则：“~~”这个串可以从任何定理中删除，它也可以嵌入到任何定理中去，只要所得的结果本身是良构串。 （4）幻想规则：如果假定x是一个定理时能推导出y来，那么<x→y>是个定理。 （5）搬入规则：在一个幻想里边，任何来自于“现实性”搞一个层次的定理都可以拿进并使用。 （6）分离规则：如果x和<x→y>两者都是定理，那么y是个定理。 （7）易位规则：<x→y>与<~y→~x>是可互换的。 （8）德·摩根规则：<~x∩~y>与~<x∪y>是可互换的。 （9）思维陀螺规则：<x∪y>与<~x→y>是可互换的。 接着作者把字母用实际内容代入，比较直观地解释了几条规则。然后，提出了一个“岩头之斧”的禅宗公案来做练习。 德山一日谓师曰：“我这里有两僧入山，住庵多时，汝去看他怎生。”师遂将一把斧去。见两人在庵内坐，师乃掂起斧曰：“道得也一下斧，道不得也一下斧。”二人殊不顾。师掷下斧曰：“作家！作家！”归，举似德山，山曰：“汝道他如何？”师曰：“洞山门下不道全无，若是德山门下，未梦见在。”（《五灯会元》卷七） 这个禅宗故事可以分两部分来讲，开头是这样的： 德山一日谓师曰：“我这里有两僧入山，住庵多时，汝去看他怎生。”师遂将一把斧去。见两人在庵内坐，师乃掂起斧曰：“道得也一下斧，道不得也一下斧。” 就是说，德山禅师让岩头禅师去看一下两个僧侣，岩头禅师拿着一把斧头跑过去一看这两人正在庵里坐着，于是他拿起斧头对两位说：“如果你们说点什么，我就砍一斧头；如果你们不说什么，我也砍一斧头”。说话也被砍、不说也被砍，那结论自然就是被砍，这是我们平时的直觉逻辑来理解这句话。侯世达把这一句话符号化进行命题演算，假设用P来将“道得”符号化，用Q将“一下斧”符号化，那么岩头禅师这句话就可以用这样的串来表达：<<P→Q>∩<~P→Q>>。那么如果从这一条字符串演算得到结果呢？侯世达利用上上面提到的各种规则处理这条串。 （1）[ 推入 （2）<<P→Q>∩<~P→Q>> 岩头公理 （3）<P→Q> 分隔规则 （4）<~Q→~P> 易位规则 （5）<~P→Q> 分隔规则 （6）<~Q→~~P> 易位规则 （7）     [ 再次推入 （8）  […]