Yann | Tardis

Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid 哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成 Douglas Hofstadter 侯世达 9787100013239 上一章里，作者介绍了一个叫做“命题演算”的形式系统，这章第八里作者开始介绍一个全新的形式系统，叫做“印符数论”，简称TNT（Typographical Number Theory）。我的理解是，这是一个用印符来描述数论（N）的形式系统，但与此同时TNT和N又是不一样的东西。所谓数论（N），是描述自然数（0，1，2，3……）的句子。 比如说这样一个数论“5是素数”，我们可以重新叙述一下，即“不存在这样的数a和b：它们都大于1，而且5等于a乘以b。”也就是说，对于数论的描述，我们通常可以通过以下这些短语来总结：对任何数b、存在一个数b使得、等于、乘以、加上…… 那么我们现在就开始来构造这个TNT了。 数字：0，S 0表示0。 当在一个串前加上一个S，即表示这个东西的“后继”。例如，SS0表示2。 变元：a、b、c、d、e或者加撇的a’、b”等 表示那些非指定的数或者说可变的数。 术语：+，⋅，= 分别表示乘以和加上，但是必须加上括号来构成串、而且这样的运算永远是二元的。 原子与命题符号：P，Q，R，~x，<x∩y>，<x∪y> ，<x→y> 也就是上一章里命题演算的所有符号也都适用于TNT。 自由变元与量化变元 这两者都是在一个串中含有变元，但是区别在于： 1）前者是开公式，后者是闭公式； 2）前者表达的是一种性质，后者表达的是一种断言； 3）前者可以被认为是（不带主语的）一个谓语；后者则是带有主语的句子； 4）前者仅仅有变元，后者必然还带有量词。 量词：∃，∀ 存在量词∃代表“存在”。例，∃b:(b+S0)=SS0，代表存在一个b使得b加1等于2。 全称量词∀代表“任何”或者“所有的”。例，∀b:(b+S0)=SS0，代表任何b都使得b加1等于2。 我们构造完TNT的所有元素之后，我们来尝试用TNT来描述前面那个数论“5是素数”，即“不存在这样的数a和b：它们都大于1，而且5等于a乘以b。”用TNT来描述的话就是：~∃a:∃b:SSSSS0=(SSa⋅SSb) 在这里我想特别提一句，因为这里出现了一个让我们后来非常困惑而且到现在也有点不解的地方，这里出现了~。表达“不存在这样的数a和b”的方式，为什么是“~∃a:∃b:”而不是“~∃a:~∃b:”呢？~的这个否定，到底否定在哪里呢？再比如“~∀b:”的意思，应该是“对于任何b都不使得”，还是“不是任何b都使得”吧？“对于任何b都不使得”不就是”不存在b使得”吗？“不是任何b都使得”不就是“存在一个b不使得”吗？ 其实这一点我现在还有点头晕，先记下一笔，希望待会我再重做那几道练习题的时候可以想明白。 刚才作者已经用TNT表达了数论“5是素数”，那么我们在尝试表达数论“存在有无穷多个素数”，即“对于每一个数a，存在一个大于a的数b，具有这样的性质：不存在大于1的数c和d，使得b等于c乘以d。” ∀a:∃e:~∃c:∃d:(a+Se)=(SSc⋅SSd) 另外值得一提的是，对于同一个数论，TNT的表达方式可以是多种多样的。 接下来，作者给大家出了6道翻译题。这6道题目大家翻来覆去做了好几遍，互相讨论，不断推翻和被推翻得出的结论。但是却依旧很难达成作者给出的提示，即这6题中有两个为真四个为假，或者四个为真两个为假。 我先把题目抄下来。 ~∀c:∃b:(SS0⋅b)=c ∀c:~∃b:(SS0⋅b)=c ∀c:∃b:~(SS0⋅b)=c ~∃b:∀c:(SS0⋅b)=c ∃b:~∀c:(SS0⋅b)=c ∃b:∀c:~(SS0⋅b)=c 据我的理解，翻译是这样的： 不是所有数都是偶数。（真） 所有数都是奇数。（假） 对于任何一个c，总存在一个b使得2b≠c。（真） 不存在一个b，使得任何一个c=2b。（真） […]